潮流计算是电力系统规划和运行领域重要的计算过程。传统的潮流计算问题采用交流潮流模型进行求解,虽然交流方法可以相对完整描述电网实际情况,计算精度高,但是随着电力系统的不断发展,运行工况越来越复杂,交流模型的非线性特征导致潮流计算规模与难度不断增大,求解效率降低,甚至可能出现不收敛的情况。线性化潮流模型是针对复杂电网结构和工况下,高效率计算潮流的有效方法。

线性化模型是对交流模型进行线性处理,有效地减少计算量,提高计算速度。在各式线性化潮流方法中,直流潮流模型被工业界广泛应用^[1],其揭示了有功注入和电压相角的线性关系。但是直流潮流模型经过一系列简化,忽略了线路阻抗因素,无法计算节点电压的幅值和支路的无功功率,且潮流解精度不高,难以适用于现场复杂情况^[2]。一些学者在传统直流潮流基础上,将潮流方程进一步转化为电压幅值平方和相角的线性关系^[3]、电压幅值和相角的线性关系^[4]、电压降低量的平方和相角的线性关系^[5]以及改进的注入功率和电压幅值倒数之间的线性关系^[6]等。改进的线性化模型的精度得到有效改善,但基于原理的潮流建模方式需要准确的配电网物理参数为基础,随着配电网的高速拓展,配电网面临线路设备老化,规模增大,可再生能源消纳增加等问题,不同电压等级配电网的物理参数的精准性、数据的完整性、电网结构的复杂性具有较大差异,存在数据参数不准或者不可知问题,导致常规的潮流计算方法实现存在局限。此外,由于新能源的加入,配电网潮流计算中引入了很多新因素,常规潮流计算方法难以适应新问题。

数据驱动是黑箱建模方法,可以不依赖物理对象的基本原理进行建模。利用电力系统的测量数据重构系统模型,有助于提高电力系统计算的效率和准确性^[7]。近年来,随着配电变压器远方终端(Transformer terminal unit, TTU)、配电终端单元(Distribution terminal unit, DTU)、同步相量量测装置(Phasor measurement unit, PMU)、智能电表(Smart meter, SM)等各种自动化量测设备在中低压配电网的广泛部署,以及以5G通信为代表的新型基础设施建设的实施,高精度、广域的同步电气量历史及实时数据的可靠获取成为现实^[8]。Chen等^[9-10]分别利用最小二乘法估计分布因子和雅可比矩阵,提出了一种基于测量,可以适应拓扑或负载变化的潮流计算方法。Yu等^[11]使用非线性支持向量回归(SVR)来揭示潮流分析中变量之间的关系,基于历史数据构建有功和无功母线注入与相位角和电压幅值之间的非线性映射规则。邵美阳等^[12]直接利用历史数据求解当前状态与最优策略之间的映射关系,运用深度置信网络求解配电网最优无功。Lei等^[13]利用极限学习机直接描述当前电网运行状态和最优潮流调度策略之间的映射关系。基于数据驱动的潮流计算可克服电网参数不准确、不可知的难题,节省了算力资源、避免了计算收敛问题。但现有文献主要是针对非线性模型的数据驱动潮流计算,对数据种类要求仍比较全面、繁多,计算时间较长。针对线性化潮流模型利用数据驱动方法进行求解是解决当前配电网潮流计算面临困境的有效选择。

笔者根据配网节点初始交流方程,通过分析现场母线电压幅值和相角取值特点,假设方程相关项,解耦电压幅值和相角,导出解耦线性潮流模型,归纳整理得出标准化矩阵模型。据此,建立数据驱动与解耦线性潮流的映射模型,采用贝叶斯数据驱动原理,利用数据训练确定模型系数矩阵,求解出潮流计算结果,通过IEEE标准节点系统,结合不同潮流计算方法比较分析,验证文中方法的有效性。

对于有n个节点的系统,其节点功率极坐标表达形式为

式中:i——节点编号,i=1,2,…,n;

P_i、Q_i——节点i注入的有功功率和无功功率;

V_i、V_j——节点i、j的电压幅值;

θ_i——节点i的电压相角;

θ_ij——节点i、j之间的相角差;

G_ij、B_ij——节点i、j之间的电导和电纳。

电力系统的导纳矩阵具有特殊结构,导纳矩阵各对角元素(即节点的自导纳)等于所在节点的全部支路导纳之和,导纳矩阵非对角元素(节点之间的互导纳)等于相应节点之间的支路导纳的负值,表示为

式中:Y_ij——导纳矩阵Y中第i行、第j列的元素;

y_ij ——节点i、j之间的导纳值。

对这种结构特点,将式(3)代入式(1)为

(4)

在现场实际中,配电网节点母线电压的大小约为1 p.u.,相角差绝对值超过30°的概率极小,一般在10°左右,为便于电压和相角解耦,将相角余弦近似取1处理^[4]:

g_ijV_i(V_i-V_jcos θ_ij)≈g_ij(V_i-V_j) 。

与传统直流潮流近似方法假设g_ijV_i(V_i-V_jcos θ_ij)≈0相比较,当分别采用表1中的两种工况数据,表中数据均采用标幺值形式。两种假设对比如图1所示。

图1 近似项结果比较
Fig.1 Comparison of approximate results

随着相角差θ_ij的变化,式g_ijV_i(V_i-V_jcos θ_ij)的结果也会随之变化,但无论怎样变化,结果与传统直流潮流近似为0的结果都相差甚远,新假设更接近原始情况,在相角差接近0的情况下,效果尤为明显。

表1 电压、阻抗参数
Table 1 Voltage and impedance parameters

根据文中假设,将式(4)可以进一步化简为

需要注意的是,式(5)中的B'_ij≠B_ij,B'_ij中不含j=i处的电纳。同理,无功功率式(2)近似为

与电纳相比较而言,电导可以忽略不计^[4],对式(6)进行G'_ij≈G_ij处理。

将式(5)、(6)整理矩阵形式为

式(7)中,Θ和V由三个子向量组成,分别对应于Vθ、PV和PQ节点。在不计及线路损失的情况下,按Vθ,PV,PQ顺序排列节点,如式(8)、(9)所示。其中,下角标R、S、L分别表示Vθ、PV和PQ节点。

按同样方式划分导纳矩阵Y为

结合式(5)、(6)和已知子向量θ_R、V_R和V_S,可以进行如下运算:

将式(10)进行整理可得:

(11)

将式(7)与式(11)结合,最终将式(7)简化、整理得:

式(12)的两边进行初等行运算,可得以下方程为

将式(14)等式两侧的第一行元素和式(15)等式两侧第二行元素合并处理,可以得到电压、相角关系方程为

结合式(13),根据已知的母线注入量P,计算未知的的表达式为

为便于确定数据驱动与潮流的映射关系,整理式(16)、(17),矩阵形式为

即

其中,由式(10)确定。

为简化表示,将式(18)表示为Y=AX+E的形式。

解耦线性化潮流标准化矩阵模型式(18)中,Y为潮流计算所需求得的电压幅值和相角,右侧分别为模型系数矩阵A、注入的有功、无功及相关常数项。其中,系数矩阵包含了配电网物理特性和固有属性。随着配电网的高速拓展,配电网面临线路设备老化,规模增大,可再生能源消纳增加等问题。不同电压等级配电网的物理参数的精准性、数据的完整性、电网结构的复杂性具有较大差异,存在数据参数不准或者不可知问题,该系数矩阵参数确定困难。因此,在数据驱动潮流模型中通过在现场运行数据中总结规律的方法确定该系数矩阵,使系数矩阵的获得不完全依赖于系统结构参数,矩阵参数获得相对方便容易。

在交流潮流计算中,由于电压幅值V和相角θ很难用明确的公式表示成P、Q的函数,从潮流方程导出逆偏导数,如:θ/P、θ/Q、V/P、V/Q,需要隐式微分,推导逆映射参数矩阵的理论解释较为复杂。在四个逆偏导数中,θ/P可以较为容易地用直流潮流方程式(19)中电纳矩阵B的逆矩阵来近似为

P=BΘ。(19)

即可以将B^-1与式(18)中的系数矩阵的子矩阵元素A₁₁、A₁₂、A₂₁和A₂₂相对应。

从数据驱动的角度来看,可以用数据挖掘技术来代替导纳矩阵建立潮流方程。在这个过程中潮流方程的参数辨识可以视为基于历史操作数据的高维曲面的多参数回归。回归得到的潮流方程可以与传统的基于模型的潮流方程一样,用于进一步潮流的计算、控制或操作^[11]。

将式(18)作为数据驱动的回归模型,基于贝斯方法计算数据驱动潮流。在数据驱动的潮流回归中状态量X和输出量Y表示为

利用数据驱动方法进行回归,在计算过程中Y、A、X表示为

X=[x₁ x₂…x_N]^T ,Y=[y₁ y₂…y_M]^T ,

A=[a₁ a₂…a_M]^T 。

Y中不同向量以y_i为例,A的不同向量以a_i为例,数据驱动方法中的回归方程为

y_i=a_iX+e_i, i=1,2,…,M ,(20)

式中:e_i——y_i中的附加噪声;

a_i——向量a_i=[a_i1…a_ij…a_iL]。

将贝叶斯线性回归法与式(20)相结合,可知:

e_i～N(0,σ²),y_i～N(a^T_ix,σ²) 。

根据贝叶斯原理,认为a_i自身也是一个概率分布,而仅知道其一个先验分布:a_i～N(0,∑),可以通过观察到的数据进行调整,得到其后验分布,因此,根据贝叶斯公式

式中:P(y_i|X,a_i)——似然概率;

P(a_i)——先验概率。

设后验概率P(a_i|y_i,X)～N(μ_ω,Σ_ω),其中μ_ω和Σ_ω分别表示正态分布的均值和方差。

为了方便计算,仅考虑P(y_i|X,a_i)P(a_i)的指数部分:

(21)

将式(21)的指数部分设为b,进行进一步简化:

至此,可以结合正态分布的性质求出a_i分布的参数。根据正态分布的概率密度公式将a_i|y_i,X～N(μ_ω,Σ_ω)的指数部分为

(23)

将式(23)和式(22)的最后一步进行对照,由此,得出a_i分布的方差,其矩阵形式为

由于D是对称矩阵,所以均值μ_ω的计算过程可表示为

至此,得到了后验分布的参数,能够根据给定的x进行预测,设预测值为

因为a_i不再是存在一个固定的最优值,而是服从一个分布,即其是一个随机变量,因此,y^{^}也可以视为一个随机变量的函数:

且。当y带噪声时,形式如式(23)所示,此时y～N(x^Tμ_ω,x^TΣ_ωx+σ²) 。

无论是还是y,其均服从于各自的正态分布,当它们取均值时概率最大,通常将正态分布均值处的数值记为预测值的数值,即y=x^Tμ_ω。

文中假设a_i的先验为椭圆高斯分布为

根据贝叶斯原理可知:先验分布设为以零为中心。以零为中心的先验概率可以视为正则化的一种形式。它能促进回归模型的稀疏性,减少回归的参数过拟合。先验分布设置为椭圆,因为不同参数之间的精度可能不同。

每个a_ij都有自己的标准偏差β^-1_j,而不是预先定义的,这样就可以根据真实的观测数据进行调整。标准偏差β的倒数遵循伽马分布,这可以通过最大化边际似然p(y_i,X|β) ^[14]来确定。在附加噪声的高斯分布假设下,似然可以写成

为了计算参数a_i,进行了极大后验(MAP)优化。在优化过程的迭代过程中,当a_ij的偏差β^-1_j低于一定阈值时,将a_ij的估计设为零,这就提供了对稀疏性进行调整的灵活性。

算法流程如图2所示。文中的算法首先将已知量y和X代入到贝叶斯公式,再将系数a的指数部分b和其所服从的正态分布的概率密度公式的指数相对照,计算出系数服从正态分布的均值和方差,最后利用确定的数据驱动模型进行潮流计算得到最终的潮流计算结果。

图2 算法流程
Fig.2 Algorithm flow

利用IEEE 5、IEEE 33、IEEE 118标准节点系统进行仿真验证,研究使用的电力系统运行测量数据主要为蒙特卡罗模拟数据。将所提出的基于贝叶斯数据驱动法潮流计算与传统直流潮流计算(DCPF)和文献[2]中提出的DLPF法的潮流计算结果进行比较,具体结果如表2所示。其中,训练数据和测试数据分别为500组和300组。

表2 几种潮流计算方法百分误差对比
Table 2 Percentage error comparison of several power flow calculation methods%

由表2可知,传统的直流潮流计算无法计算电压幅值,在计算电压相角时也存在一定误差,文献[2]中提出的DLPF方法虽然可以有效的计算出电压幅值,但会以牺牲电压相角的计算准确性为代价。文中所提的基于贝叶斯数据驱动的精确解耦线性化潮流计算方法,以较小的误差计算出电压幅值,在计算电压相角时也具有较高的精确性,其百分误差最大为10^-4,最小可达到10^-5。通过对比表2最后两列,基于数据驱动的潮流计算方法比DLPF方法在计算电压幅值和相角的百分误差明显提高。针对IEEE 33和IEEE 118节点系统,不同潮流计算方法结果如图3～6所示。

图3 IEEE 33节点的电压幅值
Fig.3 Voltage amplitude of IEEE 33 bus system

以蒙特卡罗模拟数据作为基准,即真实值,电压幅值采用标幺值。

图4 IEEE 33节点的电压相角
Fig.4 Voltage phase angle of IEEE 33 bus system

图5 IEEE 118节点的电压幅值
Fig.5 Voltage amplitude of IEEE 118 bus system

由图3～6可见,传统直流潮流算法无论在何种情况下计算电压相角都存在较大误差。由图4a和6a可以看出,DCPF方法的曲线并不能十分贴近真实值的曲线。

图6 IEEE 118节点的电压相角
Fig.6 Voltage phase angle of IEEE 118 bus system

DLPF方法相较于传统直流潮流方法在计算结果上虽然可以计算电压幅值,但精确性远不及文中提出的方法,尤其是在计算电压相角方面,在个别节点上的精准性甚至不及DCPF法。由图3a和图5a可以看出,DLPF法计算出的电压幅值曲线和真实值曲线虽然具有相同的走势。但由图3b和5b可见,计算结果存在较大偏差; 由图4a可见,代表DLPF法的电压相角曲线比代表DCPF法的电压相角曲线明显更接近真实值曲线,但在IEEE 118节点系统中结果并不理想,如图6b局部1中DLPF计算出第48节点处的电压相角比DCPF的计算结果接近真实值仅不到1°,而在第75节点处的计算结果却不如DCPF法(图7b)。

文中所提出的潮流计算方法无论是计算电压幅值还是计算电压相角的结果在任何网络中都更加接近于真实值。从图3b和5b可以看出,文中所提出的潮流计算方法比DCPF和DLPF方法都具有更高的准确性。从图4b和6b可以看出,文中所提出的方法计算结果几乎与真实值重合。

为进一步观察,将各方法的潮流计算结果与真实值之间的误差绘制出来,如图7～10所示。

图7 IEEE 33节点的电压幅值误差
Fig.7 Voltage amplitude error of IEEE 33 bus system

图8 IEEE 33节点的电压相角误差
Fig.8 Voltage phase angle error of IEEE 33 bus system

图9 IEEE 118节点的电压幅值误差
Fig.9 Voltage amplitude error of IEEE 118 bus system

由图7～10可见,文中提出的潮流计算方法计算精准性更高,计算结果也更加接近于真实值。传统直流潮流计算方法不仅无法用于求解电压幅值,且随着配电网节点数的增加,电压相角计算误差也随之增大。通过图8a和10a的比较,DCPF法的电压相角误差最大从约为1°增加到5°。DLPF法虽可以对电压幅值进行求解但是仍然具有随着节点数增加误差也增大的问题。将图7和9进行比较,电压幅值的误差最大从4.7×10^-3随着配电网节点数的增加而增加到9×10^-3。在比较电压相角计算结果时还会出现误差超过DCPF法的误差的情况,如图8和10所示。当在IEEE 33系统时DLPF法计算出的电压幅值误差明显小于DCPF法(如图8a所示),然而在IEEE 118系统中,一些节点的计算结果优于DCPF法(如图 10b局部1所示),但在部分节点计算误差明显增大,如图 10a中从81节点到110节点所示情况。文中所提出的潮流计算方法可以完美解决前两种方法中存在的问题,既可以有效求解出电压幅值,又可以减少潮流计算结果的误差,即使网络节点数过多也不会对计算准确度产生明显影响。由图7～10可见,文中所提方法误差明显小于另两种方法误差,由图8b和10b可以表明,电压相角误差虽然会随着系统节点数增加但误差依然控制在0.01°附近及以内的范围里。

图 10 IEEE 118节点的电压相角误差
Fig.10 Voltage phase angle error of IEEE 118 bus system

数据驱动模型中的回归矩阵可与直流潮流计算方程中电纳的逆矩阵B^-1相对应。为了验证数据驱动回归参数矩阵与电力系统矩阵之间的关系,文中针对IEEE 33和IEEE 118节点系统进行了分析,将直流方程中的电纳矩阵B的逆矩阵同数据驱动模型中回归参数A₁₁、A₁₂、A₂₁和A₂₂进行对比,对比结果如图 11和12所示。

图 11 IEEE 33节点参数矩阵对比
Fig.11 Comparison parameters matrix in IEEE 33 bus system

图 12 IEEE 118节点参数矩阵对比
Fig.12 Comparison parameters matrix in IEEE 118 bus system

从图 11可以看出,两个矩阵均是在从第14行到第17行、第14列到第17列的范围内数值最大、颜色最为明亮,第18行到第24行和第18列到第24的范围内数值总体较小、颜色较深,对角线上的数值都符合由小到大再到小的变化规律。图 12也可证实两个矩阵存在的对应关系,图中两个矩阵对角线处的数值都明显较大,颜色较浅,而在从第30行到第50行、第90行到第113行,第30列到第50列、第90列到第113列的范围内颜色普遍较深,数值较小。由图 11和12可知,两个矩阵中数值虽然不是完全相同但是数据变化规律、整体趋势相近,从而可以验证数据驱动回归参数与电力系统物理参数存在一定相似,理论上数据驱动方法是合理的且可实现的。

为克服传统潮流计算方法的难点问题,建立解耦线性潮流模型,确定了数据驱动与解耦线性潮流的映射关系,采用贝叶斯数据驱动方法计算了潮流,利用IEEE标准节点系统进行了验证。

(1)潮流模型不仅解决了传统电压幅值求解的难题,而且避免了交流潮流计算求解效率低、不收敛的情况。

(2)贝叶斯数据驱动潮流计算方法避免了传统潮流计算由于配电网参数不准确导致计算精度下降的问题,提高了线性潮流计算精度,较为准确地反映了电力系统真实运行状态。